Открытое образование

Теория случайных графов находится на стыке теории графов и теории вероятностей. Наука появилась в середине ХХ века, и она сразу же привлекла огромное внимание как со стороны чистых математиков, так и со стороны прикладников. В курсе мы изучим как основы теории случайных графов, так и настоящие ее жемчужины. Мы научимся воспринимать многие сложные системы как "случайные графы". Среди них – интернет, социальные сети (Фейсбук, Вконтакте), биологические, межбанковские сети. Прослушав этот курс, вы проникнетесь чрезвычайно красивой математической теорией и научитесь решать комбинаторные и алгоритмические задачи на случайных графах. Все эти знания позволят нам затем перейти к курсу веб-графов, в котором мы расскажем о самых современных приложениях вероятностно-графовых моделей и конструкций. Для освоения материала будет достаточно математики школьного уровня, базовых знаний комбинаторики и теории вероятностей.

Данный курс посвящен фундаментальным понятиям, законам, теории случайных графов. Изучаются современные проблемы соответствующих разделов случайных графов; понятия, аксиомы, методы доказательств и доказательства основных теорем в разделах, входящих в базовую часть цикл; основные свойства соответствующих математических объектов; аналитические и численные подходы и методы для решения типовых прикладных задач случайных графов.

Современная комбинаторика - своего рода основа основ: это и красивейшая теория с массой нетривиальных задач и методов, но это и прекрасная база для приложений в computer science, в анализе сложных сетей, в теории кодирования и криптографии, в биоинформатике и др. В курсе мы познакомим слушателей с наиболее важными областями и инструментами современной комбинаторики, причем многие темы курса по сути уникальны: здесь не только классические комбинаторные величины и тождества, но также и общая теория обращения Мебиуса, и диаграммы Юнга, и рекурсия, и производящие функции. Это позволит нам в дальнейших курсах выйти на реальные приложения в анализе таких сложных сетей, как Интернет, социальные, биологические сети, сети межбанковских взаимодействий и др.

Основными задачами данного курса являются:

• формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;
• формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями; 
• формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

В курсе рассматриваются основные законы и понятия механики, в том числе динамика материальной точки, динамика систем, кинематика и динамика вращательного движения твёрдых тел.

Основными задачами курса являются:

1. Ознакомление студентов с основами механики, её физическими моделями и математическими методами.
2. Развитие умения самостоятельного решения физических задач и анализа физических моделей.

Этот курс логически является второй частью двойного авторского курса Алексея Савватеева «Высшая математика для всех».

Здесь излагаются основные понятия и задачи линейной линейной алгебры:

• линейное пространство,
• базис и размерность,
• линейные операторы,
• матрицы,
• решение систем линейных уравнений,
• построение жордановой нормальной формы,
• исследование квадратичных форм.

Также рассматриваются смежные вопросы, относящиеся к топологии и динамическим системам:

• принцип сжимающих отображений,
• исследование дифференциальных уравнений,
• компактность и теорема Брауэра.

Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже.

В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Одной из сюжетных линий, продолжающей основной сюжет первой части курса, является построение экспоненты от линейного оператора. Другие сюжетные линии: форма горной поверхности, неподвижные точки отображений.

В связи с этими вопросами оказываются задействованы основные инструменты линейной алгебры, анализа и смежных дисциплин, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Этот курс логически является первой частью двойного авторского курса Алексея Савватеева "Высшая математика для всех". Здесь излагаются основные понятия математического анализа: предел и его различные применения (сумма ряда, предел последовательности, производная, интеграл), непрерывность, построение графиков функций, функциональные последовательности и ряды (в частности, степенные). Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Главной сюжетной линией является построение экспоненты как функции сначала вещественной, а потом и комплексной переменной (а в последующей второй части курса, посвящённой линейной алгебре, будет строиться экспонента от оператора). В связи с этой задачей оказываются задействованными основные инструменты математического анализа и типичные приёмы математических рассуждений, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Для бесплатного просмотра доступны только часть материалов курса.

Полный доступ откроется только после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 3600 рублей.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Курс включает 13 недель лекционных и семинарских занятий. На лекциях излагаются основные идеи, примеры, сюжеты, теория. На семинарах − более технические вопросы и задачи, иллюстрирующие использование методов. В конце каждой недели слушателям предлагаются контрольные задачи, а по окончании всех недель − проверочный экзамен. В основном задачи ориентированы на проверку понимания материалов лекций и семинаров, но есть и более сложные задания, требующие самостоятельной работы.

Логическим продолжением этого курса является вторая часть двойного курса "Высшая математика для всех" − "Линейная алгебра и элементы топологии". По замыслу автора эти две части − математический анализ и линейная алгебра − должны восприниматься слушателями как единое целое. Перед изучением второй части курса очень желательно быть знакомым с первой частью.

Программа курса:

1. Мотивирующие примеры: как далеко видно с горы, приближенные вычисления, последовательность вложенных треугольников.
2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Полнота множества вещественных чисел. Признаки сходимости рядов: интегральный, Даламбера и Коши.
3. Последовательности, интуитивное представление о сходимости. Сходимость без указания предела (фундаментальные последовательности). Предел последовательности, его связь с суммой ряда. Примеры пределов последовательностей. Рекуррентные последовательности.
4. Общее понятие предела, основанное на системе окрестностей. Использование пределов в математическом анализе: производная, задание и вычисление вещественных чисел, интеграл, асимптотика.
5. Многочлены и их графики. Корни многочлена и теорема Безу. Локальные экстремумы и производная. Старшие производные.
6. Экспонента: введение. Возникновение экспоненты и числа e в различных задачах.
7. Экспонента: алгебраический подход. Теорема о промежуточном значении и неизменность знака экспоненты. Построение экспоненты "по непрерывности".
8. Степенные ряды. Экспонента как степенной ряд. Число e − основание степени в экспоненте. "Замечательный предел" для числа e и экспоненты. Продолжение экспоненты на комплексную плоскость. Раскрытие скобок в произведении рядов. Абсолютная сходимость ряда и перестановка слагаемых. Условно сходящиеся ряды.
9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Мажорируемая сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
10. Комплексная экспонента. Комплексные тригонометрические функции.

В курсе речь пойдет о современных математических моделях, позволяющих с той или иной степенью адекватности описывать формирование интернета. Также будет рассказано о том, какую практическую пользу несут в себе подобные модели.

Теория вероятностей - это, вне всякого сомнения, один из самых важных и богатых приложениями разделов современной математики.

С помощью методов этой замечательной науки можно как оценивать классические вероятности выигрышных стратегий в азартных играх, так и решать весьма серьезные прикладные задачи, возникающие буквально в каждой области науки. В нашем курсе мы познакомим слушателей прежде всего с самыми основами предмета. И сделаем мы это в уникальном формате - иллюстрируя вероятностные объекты и методы на примерах решения с их помощью комбинаторных задач. Суть в том, что, конечно, в базовой вероятности много комбинаторики, и это все знают; мы же расскажем не только об этом, но и о том, как, наоборот, вероятностные методы позволяют работать с комбинаторными задачами. Это позволит нам впоследствии выйти на приложения вероятности в теории графов, случайных графов и, наконец, веб-графов и прочих сложных сетей. Также в рамках курса мы оторвемся от чисто комбинаторных интерпретаций и обсудим более общие вероятностные модели. Но интуиция все равно сохранится, и в этой комбинаторной подоплеке уникальность курса.

Курс предполагает изучение следующих разделов:

• Создание понимания задач машинного обучения, мотивация к их решению и практические приложения этих задач.
• Базовые практические навыки постановки и решения задач анализа данных как инженерных задач
• Актуальные задачи и некоторые последние достижения в области анализа данных

По итогам успешного прохождения курса у Вас сложится общая картина обо всех направлениях анализа данных. Вы узнаете об основных способах машинного обучения: supervised learning, unsupervised learning и даже semi-supervised learning. Вы научитесь решать задачи классификации, регрессии, кластеризации, узнаете о всех тонкостях оценки качества алгоритмов, преобразования признаков. И, конечно же, у Вас появится представление о реальных задачах анализа данных – мы рассмотрим такие примеры, как классификация музыки по жанрам, максимизация дохода, прогнозирование оттока пользователей, анализ текстов. Кроме того, мы разберем все основные структуры нейронных сетей и то, как и где их применять. Напоследок, Вы познакомитесь с основными понятиями и методами в прогнозировании временных рядов.